Bakalárske a magisterské témy

Tenzorové súčinové stavy sa využívajú v modernej fyzike na výpočet energií a vlastných stavov kvantových modelov. Typickým systémom sú napr. spinové modely, ktorých hamiltoniány opisujú magnetizmus pri nulovej teplote. Pomocou tenzorových súčinových stavov sa aproximuje kvantová vlnová funkcia, ktorá v sebe nesie fyzikálne stupne voľnosti, ktoré popisujú Hilbertov priestor, ale zároveň aj pomocné (tzv. nefyzikálne) stupne voľnosti, ktorých veľkosť kontroluje dosah korelácií, t.j. presnosť. Budeme nimi charakterizovať mnohočasticové interagujúce spinové systémy vo fázovom prechode pomocou kvantového previazania (entanglement). Keďže ide o netriviálnu úlohu, ktorá nie je analyticky riešiteľný, využijeme numerické prístupy, pri ktorých môže byť použitý ľubovoľný programovací jazyk, napr. Python, MatLab, C++, a pod.

Termín tenzorové siete označuje špecifický matematický aparát kvantovej mechaniky, pomocou ktorého je možné veľmi presne počítať (aproximovať) základné stavy kvantových systémov. Najskôr bude vysvetlená metóda tzv. maticových súčinových stavov a následne bude aplikovaný na kvantové spinové systémy, ktorých hamiltoniány umožňuje popisovať magnetické vlastnosti materiálov, magnetické spinové usporiadania a najmä kvantové fázové prechody. Pre štúdium bude použitý numerický prístup, ktorý môžu byť v ľubovoľnom programovacom jazyku, napr. Python, MatLab, C++, a pod.

Neeuklidovská geometria je charakteristická nenulovou gaussovskou krivosťou. Pomocou metód renormalizačnej grupy bude navrhnutý iteratívny numerický algoritmus pre zakrivené siete so zápornými krivosťami. Tieto siete budú kopírovať interakčnú štruktúru spinových modelov, ktoré popisujú fyzikálne systémy pomocou hamiltoniánov. Nakoľko takéto systémy nie sú exaktne riešiteľné, pre štúdium bude použitý numerický prístup, ktorý môžu byť v ľubovoľnom programovacom jazyku, napr. Python, MatLab, C++, a pod. Výsledkom bude špecifikácia rôznych tried univerzality spinových modelov a tiež zdôvodnenie mechanizmu, ktorým sa narušujú ďalekodosahové korelácie vo fázovom prechode na zakrivených geometriách. Jednočasticové a dvojčasticové korelácie včítane  entanglementu (entropiu previazania) budú počítané.

The adiabatic theorem tells us that evolving an eigenstate with a weakly time-dependent Hamiltonian results in a state near an instantaneous eigenstate, if some conditions are met. In this diploma thesis, we will first analyze these conditions in some depth. Second, we will look for computational applications of such processes, and their generalizations (quantum annealing). We will focus on stoquastic Hamiltonians, in particular those related to continuous-time quantum walks.

Viete, že napr. vedci z IBM dali hlavy dohromady, postavili malý kvantový počítač a prakticky komukoľvek umožnili ho aj používať? My na ňom skúsime naprogramovať svoje vlastné programy a otestovať ako sa im to podarilo a tiež vymyslieť spôsoby ako prípadné chyby opraviť.

Ako experimentálne overiť napr. dynamiku spinu v magnetickom poli? Čo robiť v prípade, ak niektoré stavy a merania k dispozícii jednoducho nemáme? Cieľom je vytvorenie programu, ktorý spracuje a vyhodnotí experimentálne dáta použijúc metodiku založenú na princípe maximálnej entropie. Tento ad-hoc princíp sa využíva v situáciách, v ktorých experimentálne dáta neobsahujú všetku informáciu, ktorú by sme potrebovali. Zo všetkých kompatibilných riešení vyberie to s najvyššou entropiou. Program aplikujeme na reálne experimentálne dáta.

V kvantovom počítaní sú logické hradlá nahradené tzv. kvantovými hradlami, t.j. spravidla (nezašumenými) unitárnymi transformáciami. Vyberieme si algoritmus a pozrieme sa na to, ktoré typy dekoherencie sú povolené, t.j. ideálne hradlá nahradíme realistickými, ktoré obsahujú aj istý šum spôsobujúci dekoherenciu. Dôsledkom je, že celý algoritmus de facto prestáva fungovať a nastupuje procedúra opravy chýb. Cieľom bude vymyslieť alternatívny algoritmus, ktorý túto "chybovosť" dokáže "ignorovať".