Bakalárske a magisterské témy

Cieľom diplomovej práce bude presná klasifikácia fázových prechodov pre spinové systémy v neeuklidovských diskrétnych geometriách so zápornou Gaussovou krivosťou (a nekonečnou Hausdorfovou dimenziou). Nakoľko tieto systémy nie sú analyticky riešiteľné (Monte Carlo simulácie nie sú efektívne), pri štúdiu použijeme kvantovomechanické vlastnosti matice hustoty na redukciu Hilbertovho priestoru pomocou metód renormalizačnej grupy. Výsledkom bude detailná analýza triedy univerzality spinových modelov ako aj vysvetlenie mechanizmu narušenia ďalekodosahových korelácií vo fázovom prechode. Budeme vyšetrovať jedno a dvojčasticové korelácie a entanglovanú entropiu, z ktorých vypočítame univerzálne škálovacie parametre. Bližšie info tiež na Wikipedii a Arxiv.

V diplomovej práci sa budeme venovať štúdiu a hľadaniu kritických vlastností silnokorelovaných spinových systémov na rôznych fraktálnych objektoch (Sierpinski triangle, tetrahedron, carpet, atď.), ktorých Hausdorfova dimenzia je neceločíselná. Pod pojmom kritické vlastnosti rozumieme zmenu štruktúry usporiadania spinov, ktorá sa prejaví napr. divergenciou susceptibility alebo prudkým nárastom von Neumannovej entanglovanej entropie alebo silnými koreláciami (kvantovou previazanosťou) v systéme.

Budeme skúmať numerický problém znamienka pre metódu Quantum Monte Carlo a hľadať spôsob, ako ho systematicky obicyklovať, alebo trochu zmierniť, a to, za akú cenu sa to dá.

The adiabatic theorem tells us that evolving an eigenstate with a weakly time-dependent Hamiltonian results in a state near an instantaneous eigenstate, if some conditions are met. In this diploma thesis, we will first analyze these conditions in some depth. Second, we will look for computational applications of such processes, and their generalizations (quantum annealing). We will focus on stoquastic Hamiltonians, in particular those related to continuous-time quantum walks.

Viete, že napr. vedci z IBM dali hlavy dohromady, postavili malý kvantový počítač a prakticky komukoľvek umožnili ho aj používať? My na ňom skúsime naprogramovať svoje vlastné programy a otestovať ako sa im to podarilo a tiež vymyslieť spôsoby ako prípadné chyby opraviť.

Ako experimentálne overiť napr. dynamiku spinu v magnetickom poli? Čo robiť v prípade, ak niektoré stavy a merania k dispozícii jednoducho nemáme? Cieľom je vytvorenie programu, ktorý spracuje a vyhodnotí experimentálne dáta použijúc metodiku založenú na princípe maximálnej entropie. Tento ad-hoc princíp sa využíva v situáciách, v ktorých experimentálne dáta neobsahujú všetku informáciu, ktorú by sme potrebovali. Zo všetkých kompatibilných riešení vyberie to s najvyššou entropiou. Program aplikujeme na reálne experimentálne dáta.

V kvantovom počítaní sú logické hradlá nahradené tzv. kvantovými hradlami, t.j. spravidla (nezašumenými) unitárnymi transformáciami. Vyberieme si algoritmus a pozrieme sa na to, ktoré typy dekoherencie sú povolené, t.j. ideálne hradlá nahradíme realistickými, ktoré obsahujú aj istý šum spôsobujúci dekoherenciu. Dôsledkom je, že celý algoritmus de facto prestáva fungovať a nastupuje procedúra opravy chýb. Cieľom bude vymyslieť alternatívny algoritmus, ktorý túto "chybovosť" dokáže "ignorovať".